品味人生

你参加电视台的一个抽奖节目。台上有三个门，一个后边有汽车，其余后边是山羊。主持人让你任意选择其一。然后他打开其余两个门中的一个，你看到是山羊。这时，他给你机会让你可以重选，也就是你可以换选另一个剩下的门。那么，你换不换？

维基百科词条：Monty Hall problem

Sol1:
可以这样考虑:

换：
假如原来选的是汽车(1/3)，那么换了就挂了
假如原来选的是绵羊(2/3)，那么换了就赢了
所以，换的情况下，赢的概率是2/3

不换：
假如原来选的是汽车(1/3)，那么不换就赢了
假如原来选的是绵羊(2/3)，那么不换就挂了
所以，不换的情况下，赢的概率是1/3

①此问题要点是策略，两种策略选其一：换或不换。不要陷于概率细节，更不要陷于“不同情况”——固定策略就是用来应对变换的情况的；
②为了最终胜利，换策略需要开始选错（2/3），不换策略需要开始选对（1/3）——还需要什么分析吗？

Sol2:
主持人了解所有门后面的东东，他一定要打开一扇“羊”门
如果车在A门后面，主持人有B、C两种选择，打开C门（“羊”门）的概率为
P(Host opens C|A) = 1/2
如果车在B门后面，主持人没有选择，只能打开C门
P(Host opens C|B) = 1
如果车在C门后面，主持人一样没得选择，绝对不能开C门
P(Host opens C|C) = 0

所以，主持人打开C门的概率为
P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)
= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2

根据贝叶斯公式，在主持人打开C门的条件下，A、B两门后面是车的概率分别为
P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)
= (1/6) / (1/2)
= 1/3
P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)
= (1/3) / (1/2)
= 2/3